更新日：２００９年３月３日
３月６日(金)
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長郷 文和 (名城大学 理工学部)，
田中 心 (東京学芸大学 教育学部)
A slice of the character variety, knot contact homology
and Khovanov homology of 2-bridge knots
〜勉強報告+α〜
昨年，KronheimerとMrowkaはpreprint [1]において，
結び目群$G(K)$に
対する$\SU(2)$-表現空間のある断面(部分集合)$R_0(K,\SU(2))$が，
位相空間として一つの2次元球面$\S^2$と幾つかの実射影空間$\RP^3$の
disjoint unionと同相であることを簡単な結び目で考察し，
その例においては，homology $H_*(R_0(K,\SU(2)))$が
(collapsed) Khovanov homology $Kh_*(K)$に同型であることを示した．
更に，任意の2橋結び目$K$について，(詳細についての記載はないが)
この考察結果が同様に成立することも報告されている．
また，JacobssonとRubinszteinもpreprint [2]で，
同様の考察を行っている．
(彼らは, topological quandleから定義される結び目不変量を
用いているが, 結局は$R_0(K,\SU(2))$と同一視できる対象であることが分かる．)
この講演においては，上記二つのpreprintと同様の考察を，
直接的な方法で適宜詳細を示しながら，
$\SL_2(\C)$-指標代数多様体の断面(部分集合)$S_0(K)$と
degree 0 abelian knot contact homology $HC_0^{ab}(K)$の関係を
簡単に交えて行う．
Last year, in the preprint [1],
Kronheimer and Mrowka observed that for some knots $K$ a slice
$R_0(K,\SU(2))$ of the $\SU(2)$-representation space of a knot group
$G(K)$ is homeomorphic to a disjoint union of a $\S^2$ and $\R P^3$'s
and its homology $H_*(R_0(K,\SU(2)))$
is isomorphic to (collapsed) Khovanov homology $Kh_*(K)$ of $K$.
Moreover it was announced that the same result still holds
for any 2-bridge knots (without details).
In the preprint [2], Jacobsson and Rubinsztein also observed
the same phenomenon by a knot invariant derived from topological quandles, which is eventually identified with $R_0(K,\SU(2))$.
In this talk, we will also observe the same phenomenon
(by a straightforward method with some details) combined with
a relationship between a slice $S_0(K)$ of
the $\SL_2(\C)$-character variety
of a knot group $G(K)$ and degree 0 abelian knot contact homology
$HC_0^{ab}(K)$ of $K$.
参考文献
- P. B. Kronheimer, T. S. Mrowka,
Knot homology groups from instantons, arXiv:0806.1053,
- M. Jacobsson, R. L. Rubinsztein,
Symplectic topology of SU(2)-representation varieties and
link homology, I:
symplectic braid action and the first chern class, arXiv:0806.2902
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大城 佳奈子
(広島大学 大学院理学研究科・日本学術振興会特別研究員(DC1))
Extensions of quandles
この講演では J.S.Carter 氏と M.Saito 氏との共同研究における基本的理論を
解説する。Quandle $X$ の extension $E_X$ とは、ある条件を満たす $X$ への
全射準同型を持つ quandle のことである。
Quandle の extension について詳しく解説し、quandle の extension との関係から
quandle 理論についてみていく。
また、quandle の extension を構成する幾つかの方法を紹介する。
We explain about extensions of quandles. Here, an extension $E_X$ of
a quandle $X$ is a quandle which has a surjective map $\phi: E_X \to X$
satisfying some condition. We show some methods to construct extensions of
quandles. Our research with J. S. Carter and M. Saito is based on this concept.
３月７日(土)
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Bao Yuanyuan (東京工業大学 大学院理工学研究科)
An Introduction to Combinatorial Link Floer Homology
Link Floer homology, which was defined by Peter Ozsvath and Zoltan Szabo,
and independently by Jacob Rasmussen, is an invariant for links defined
using a suitable version of Lagrangian Floer homology.
Its Euler characteristic gives the Alexander polynomial of a given link.
Since the boundary map of the complex involves counting pseudo-holomorphic
disks satisfying certain conditions, there was no algorithmic way to compute
these link Floer homology groups.
In the year of 2007, Ciprian Manolescu, Peter Ozsvath, Zoltan Szabo and
Dylan Thurston published a paper, where by using a grid diagram of the link,
a combinatorial definition of the link Floer homology was given,
and since then writing a computer program to calculate the link Floer homology
becomes possible. In this talk, we plan to give an elementary introduction to
the combinatorial definition of the link Floer homology and show some examples
on how to calculate this homology.
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蒲谷 祐一 (東京工業大学 大学院理工学研究科)
On the character variety of a 3-manifold
３次元双曲空間の向きを保つ等長写像はPSL(2,C)に等し
い。
このことから３次元双曲多様体が与えられるとそれに
付随して
基本群のPSL(2,C)表現が得られる事がわかる。
特に結び目の補空間の場合にはその表現を変形する事
ができることが知られている。
変形によってDehn surgeryによって得られる多様体の双曲
構造が得られるため、
基本群のPSL(2,C)表現やSL(2,C)表現全体の空間はよく研究
されている。
その他にも、変形の極限として非圧縮曲面を構成する
話題などもある。
３次元多様体の基本群のSL(2,C)表現の共役類全体のな
す空間は
character varietyと呼ばれている。
講演ではcharacter varietyを調べる上で必要最小限な代数
幾何の話から始め、
character varietyについての基本的な性質などについて話
をする。その後、
表現の局所変形とcohomology、
PSL(2,C)表現のSL(2,C)表現への持ち上げについて、
理想四面体分割による表現の構成法(特に結び目の補
空間の場合)、
完備双曲構造の表現を含むcomponentの性質、
などの話題を時間の許す限り触れたいと思う。
For any hyperbolic 3-manifold M, there exists the associated PSL(2,C)-
representation of \pi_1(M)
because the isometry group of the hyperbolic 3-space is isomorphic to
PSL(2,C).
If the manifold is diffeomorphic to a knot complement, the
representation can be deformed.
The deformation space has the representations of hyperbolic 3-
manifolds obtained by
Dehn surgeries along the knot. So the deformation space has been
intensively studied.
The space of conjugacy classes of SL(2,C)-representations is called
the character variety.
I will talk about some basics of character varieties and algebraic
geometry necessary to study them.
Then I would like to mention on some of the following topics as time
permits.:
local deformation of representations and cohomology,
lifting of a PSL(2,C)-representation to SL(2,C)-representation,
construction of PSL(2,C) representations using ideal triangulation
(especially link complement case),
the component which contains the discrete faithful representation.
３月８日(日)
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井上 歩 (東京工業大学 大学院理工学研究科)
Quandle and hyperbolic volume (part 1 & part 2)
この講演では，双曲結び目の体積がカンドルコサイクル不変量であることを示します．
またこの不変量を用いて，双曲結び目の可逆性及び(+)/(-)もろ手型の有無が完全に判定できることを紹介します．
In this talk, we will show that the hyperbolic volume of a hyperbolic knot is a quandle cocycle invariant.
Further, we will show that it completely determines invertibility and positive/negative amphicheirality of hyperbolic knots.
３月９日(月)
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米澤 康好 (名古屋大学 大学院多元数理科学研究科)
Toward categorification of MOY link invariant via matrix factorization
ホバノフとロザンスキーはオイラー標数をHOMFLY-PT多項式に持つ絡み目のホモロジー不変量を行列分解を用いて構成した。今回は、彼らの仕事の一般化として色付HOMFLY-PT多項式への取り組みを紹介する。
Khovanov and Rozansky constructed a homological link invariant whose Euler characteristic is HOMFLY-PT polynomial via matrix factorization.
In my talk, we discuss a cagegorification of colored HOMFLY-PT polynomial via matrix factorization as a generalization of Khovanov-Rozansky homology.